为了精确地确定这些交点的位置，作者们不得不将扭转点从各自的曲线上移开，并将它们放在彼此的位置上（就像你将一张星图与夜空相匹配一样）。

数学家们知道这些“星图”，但他们没有一个好的视角来计算重叠的点。德马科、克里格和叶利用算术动力学做到了这一点。他们把两条椭圆曲线转换成两种不同的动力系统。这两个动力系统在复平面上生成点。

两个动力系统的有限轨道点对应于椭圆曲线的扭转点。现在，为了给曼-芒福德猜想设定一个界限，数学家们只需要计算这些有限轨道点重叠的次数。他们使用动力系统的技术来解决这个问题。

计算重叠

椭圆曲线上的扭转点没有增长，因为它们会绕回自身。数学家们用“高度函数”来衡量这种增长。当作用于椭圆曲线的扭转点时，它等于零。同样，当应用于动力系统的有限轨道点时，它等于零。高度函数是算术动力学中必不可少的工具，因为它们可以在两个分支之间的分界的任何一边使用。

作者研究了代表椭圆曲线的动力系统的零高度点重合的频率。他们证明了这些点在复平面上分散得足够多，所以它们不太可能重合（事实上，重合次数不可能超过特定的次数）。

这个数字很难计算，而且可能比实际重合点的数量要大得多，但作者证明了这个上限确实存在。然后，他们将这个问题重新转化为数论的语言，以确定两条椭圆曲线上共享扭转点的最大数目，这是问题的关键，也是算术动力学一个引人注目的地方。

它们能够回答一个已经存在于数论中的特定问题，而没有人认为它与动力系统有任何关系。

在德马科、克里格和叶第一次发表了他们对曼宁-芒福德猜想一致的证明后不久，他们又发表了第二篇相关论文，是关于动力系统的问题，而不是数论，但它使用类似的方法。这两篇论文综合了过去三十年来从事算术动力学的数学家们所发展的许多思想，同时也添加了全新的技术。但西尔弗曼认为这些论文不仅是结论性的，更具有启发性，暗示着这一新学科将产生更广泛的影响。

文章来源：《水动力学研究与进展》 网址: http://www.sdlxyjyjzzz.cn/zonghexinwen/2021/0418/576.html

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