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• 这是茱莉亚集合的一个例子。

这只是二次多项式的一个例子。二次多项式是动力系统研究的基础，正如椭圆曲线是数论研究的基础一样。

动力系统在进化过程中产生一系列的数字。以二次函数f(x) = x^2?1为例。如果从值x = 2开始，会得到无穷序列2，3，8，63等等。

但是，并不是所有的起始值都会生成一个不断变大的序列。如果从x = 0开始，同样的函数会生成不同类型的序列：0，?1，0，?1，0等等。

在动力系统的世界中，其序列最终重复的起点称为有限轨道点。它们是椭圆曲线上的扭转点的直接类比。在这两种情况下，都是从一个值开始，应用系统或曲线的规则，并以循环结束。这是三位数学家在他们的新证明中所利用的类比。

设定一个上限

三位数学家（克里格、叶都和德马科）设想一种方法来扩展椭圆曲线的扭转点与动力系统的有限轨道点之间的关键类比。他们把一个看似无关的问题转化成一个可以直接应用类比的问题。这个问题源于曼宁-芒福德猜想。

曼-芒福德猜想是关于比椭圆曲线更复杂的曲线，比如y^2 = x^6 + x^4 + x^2?1。每条曲线都有一个与之相关的更大的几何对象，称为雅可比矩阵（它模拟了曲线的某些特性，对于数学家来说通常比曲线本身更容易研究）。曲线在雅可比矩阵中的位置就像拼图中的一块一样。

与椭圆曲线不同，这些更复杂的曲线没有这样的群结构，即使曲线上的点相加的结果仍在曲线上。但是相关的雅可比矩阵可以。雅可比矩阵也有扭转点，就像椭圆曲线一样，在反复的内加法下，会回到起始点。

曼宁-芒福德猜想是关于这些隐藏在雅可比矩阵中的复杂曲线与雅可比矩阵的扭转点相交的次数。它预测这些交点只会出现有限的次数。这个猜想反映了曲线的代数性质（扭转点是定义曲线的方程的特殊解）和它作为几何对象之间的相互关系（反映了曲线是如何嵌入雅可比矩阵的，就像一个形状嵌入另一个形状）。扭转点在雅可比矩阵的每个区域都是存在的。如果你放大它的任何一小部分，你都会找到它们。

1983年，米歇尔·雷诺证明了这个猜想是正确的。从那以后，数学家们一直在尝试改进他的结果。既然知道它们只有有限的共同点，那么每个数学家都会问，有多少个？

但是，由于缺乏一个清晰的框架来定义这些点的复数，计算交点的努力受到了阻碍。算术动力学最终起了作用。

转换问题

在他们2020年的论文中，三位数学家证明了曲线的交点数有一个上界（并没有准确地确定这一上限）。雷诺之前的结果证明了交集的数量是有限的，但它为这个有限的数留出了空间，让它尽可能大。

它们的证明依赖于与这个特殊曲线族相关的雅可比矩阵的一个独特性质，它们可以被分成两条椭圆曲线。

组成雅可比矩阵的椭圆曲线的解为复数。它们不是弯曲的线条，而是像甜甜圈的表面。德马科、克里格和叶研究的特定曲线族的雅可比矩阵看起来像具有两个洞的甜甜圈。它们很好地分解成两个规则的甜甜圈，每一个都是两个组成椭圆曲线之一的图形。

新工作的重点是这些椭圆曲线的扭转点。三个数学家对复杂曲线的交点个数及其雅可比矩阵的扭转点感兴趣，这可以用其中一条椭圆曲线上的扭转点与另一条椭圆曲线上的扭转点重叠的次数来表示。因此，要给曼宁-芒福德猜想设定一个界限，所有的研究者需要做的就是计算这些扭转点之间的交点。

这不能直接完成。这两条椭圆曲线和它们的扭转点不能直接比较，因为它们不一定重叠。扭转点散布在椭圆曲线的表面上，但这两条曲线可能有非常不同的形状。这就像比较球体表面上的点和立方体表面上的点一样（这些点可以有相似的相对位置，但实际上没有重叠）。

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但是，尽管扭转点实际上不一定是重叠的，但可以把它们看成是在每个甜甜圈上相同的相对位置上的一对。在它们各自的甜甜圈上占据相同相对位置的一对扭转点可以认为是相交的。

文章来源：《水动力学研究与进展》 网址: http://www.sdlxyjyjzzz.cn/zonghexinwen/2021/0418/576.html

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