1)当 Δ＞0时，有两个实特征根：

a)当时，λ2，μ2同号，所以A(P,0)是结点。此时，若r2-r1-l2P＜0，A(P,0)是稳定结点，r2-r1-l2P＞0，A(P,0)是不稳定结点。

b)当时，λ2，μ2异号，所以A(P,0)是鞍点。

2)当 Δ＜0时，方程有共轭虚根：

所以A(P,0)是焦点，此时r2-r1-l2P＜0时为稳定焦点，r2-r1-l2P＞0时为不稳定焦点。

3.1.3.考虑平衡点B(0,Q)

作坐标平移，x1=x，y1=y-Q，系统化为

其线性近似系统的系数矩阵为B1的特征多项式为

1)当 Δ＞0时，有两个实特征根：

a)当时，λ3，μ3同号，所以B(0,Q)是结点。此时，若r1-r2-l1Q＜0，B(0,Q)是稳定结点，r1-r2-l1Q＞0，B(0,Q)是不稳定结点。

b)当时，λ3，μ3异号，所以B(0,Q)是鞍点。

2)当 Δ＜0时，方程有共轭虚根：

此时B(0,Q)是焦点，当r1-r2-l1Q＜0时为稳定焦点，r1-r2-l1Q＞0时为不稳定焦点。

3.2.极限环分析

考虑到物流企业发展的同时所处环境区域经济也在不断发展的实际情况，从而当一个企业达到市场相对容纳量时并不会就此停滞发展，因此我们假设企业甲与乙的产出水平的平方的最大容纳量达到市场容纳量时才会停滞发展。同时，处在同一区域经济环境的两家同质性物流企业，其相互又发展又竞争的动力学系统中，基于企业的产品和服务对象的性质不同，有时也会存在如下的经济形态：甲乙两家企业相遇以争夺资源和服务对象而相互竞争给自我发展带来的抑制作用与自己和对方的平方之积成比例；同时，其中一家企业甲的发展对另一家企业乙的发展起到抑制作用，而另一家企业乙的发展对其中一家企业甲的发展却起到了促进作用。这种情况下两家企业的发展可以表示为如下的形式

两家企业在进行竞争过程中，双方的主要矛盾是争夺对方的市场占有量，此时双方的内禀增长率在竞争系统中大致相等，竞争带来的抑制率也大致相等。于是我们不妨假设此时r1=r2=M，l1=l2=m。如我们设定两家企业甲与乙的产出水平的平方的最大容纳量P与Q满足那么，上述模 型化为：

此时系统中m(x2+y2)表示两家企业在竞争过程中，共同作用下对两家企业的影响。

将系统(3.5)进一步表示为：

利用极坐标变换x=rcosθ，y=rsinθ，(3.6)式化为：

从而可以得出(3.7)式有两个特解：其中r=0对应系统(3.5)的平衡点，而对应系统(3.5)的一个周期解，它对应的闭轨线是以原点为中心以为半径的圆。

在相平面上，以原点为圆心，任意作一个半径为r的圆，考察方程组通过这个圆上任一点P(r,θ)的 轨线的走向：θ是t的递增函数。因此，随着t的增大，轨线按逆时针方向旋转.

当时，r是t的递增函数，因此，随着t的增大，轨线从圆r=r1上走出圆外。

当时，r是t的递减函数，因此，随着t的增大，轨线从圆r=r2上走进圆内。

因此，原方程组(3.5)有周期解闭轨线是孤立的，因而它是一个极限环，此极限环的内外侧轨线均逆时针趋近于它，因而是一个稳定的极限环。

综上所述，两家企业处于一个相对稳定的动态竞争系统中，增长具有周期性，双方经过一段时间的竞争，企业产出水平增长稳定分布在该极限环附近。所以，在一定周期内，企业的发展在抑制对方发展的同时也促进着对方的发展。当社会经济发展使得物流需求量增加时，双方的增长率会同时上升，进而提升到一个更大的极限环。同理，当社会物流需求量减少时，双方的增长率会同时下降，从而缩小到一个更小的极限环。

举例说明，设参数的取值为k=9，M=4，m=0.5，利用MATLAB 软件作图得到如下轨线分布图：

Figure phase diagram of the inside and outside orbits of the limit cycle图1.极限环内外侧轨线分布图

由图1可以看出，数值模拟的结果与上文讨论的情形一致，从而在一定的误差范围内验证了该模型的准确性。进一步表明企业在竞争过程中，存在着一定的稳定性，并绕极限环在相互竞争的同时稳定发展。

4.结论

区域物流的兴衰越来越影响着一个城市的区域经济发展，本文从基础理论出发,建立了同质性区域物流动力学竞争模型。运用了微分方程定性分析的理论，通过对系统的平衡点与极限环的分析，得到两家企业在竞争过程中的相互影响关系。并以此为基础，举例分析验证，得到两个企业可以稳定共存的条件，进一步深化了对区域同质性物流企业竞争系统的本质认识。通过对这一问题的深度探讨，希望对区域同质性物流企业的发展提供参考。

文章来源：《水动力学研究与进展》 网址: http://www.sdlxyjyjzzz.cn/qikandaodu/2021/0617/613.html

上一篇：生态河道中多尺度水力学及水动力学问题浅谈
下一篇：动态价格下系统的捕捞问题