1 基于新的分数阶微分模板增强目标

与1阶和2阶微分不同，分数阶微分(0.1—0.9阶)可以检测或部分检测模糊的边界和微细的弱边界(Wang等，2012)，而且与传统边界扫描算法相比，还可以减少噪声的增加量，分数阶微分的改进算法(Wang等，2012)可用于岩石节理裂隙图像及路面裂缝图像的增强。

分数阶v阶导数的Grümwald-Letnikov定义为

式中，根据式(1)，如果一元信号s(t)的持续期是t∈[a,t]，则将信号持续期[a,t]按照单位等分间隔h=1进行等分，有

由此可推导出一元信号s(t)v阶的分数阶微分差值，具体为

由式(3)可得分数阶微分的各个系数，具体为

若将式(4)的系数按像素之间的距离嵌入到一个5×5模板中，可得传统的Tiansi模板，就有8个像素的系数值为0，如果将中心像素的系数定义为8，则Tiansi 模板类似于Laplacian 算子。若用函数k(i,j)来表达模板，那么Tiansi 5×5模板中的各个系数之和可表达为

式中，u=Aa0=8。

若定义则可求得中心像素系数u=12v-4v2+1，而不是8。

若模板中每一个点的系数都按像素之间的欧氏距离来确定，则可以得到一种不同于Tiansi的新的分数阶微分模板。该模板充分利用了每一个邻域像素对检测点的作用，模板中的每一系数值都为非零值。考虑到像素之间距离计算较繁杂，可以进行简化，如两像素斜线距离具体为

模板的中心像素值为

图1展示了Tiansi模板与改进的分数阶模板的比较。与传统的Tiansi模板相比，新模板中的每个像素的系数都不为0。中心系数值为

图1 Tiansi模板和改进的分数阶模板比较Fig.1 Tiansi and new fractional differential templates ((a) Tiansi template (5×5); (b) improved fractional differential templates (5×5))

模板尺寸的选择是很重要的, 经过实验得出：如果为3×3，则由于太小，处理的结果较为粗糙; 如果大于7×7, 则计算量太大。所以选择5×5较为合理。待模板大小确定后，选择合理的分数阶的微分阶数。通过对裂隙和裂缝图像的检测得出：当阶数v从0.1 增加到0.5时，图像中的模糊边界和弱边界逐渐增强；当v>0.5时, 图像中的噪声将随着v的增长而陡增，如图2 所示，故此，本文在5×5的模板中选择v= 0.5。

图2 不同分数阶阶数v对裂缝图像的微分结果Fig.2 Different fractional differential ordervon crack image ((a) crack image; (b)v= 0.1; (c)v= 0.3; (d)v= 0.5; (e)v= 0.7; (f)v= 0.8)

2 基于Steger的中线特征点提取

Steger(1998，2000)通过研究1维曲线尺度的空间特性，得出当时，2阶微分取到极值，其中w为被测曲线的线宽，σ为高斯核函数的标准差。若将1维曲线的情况推广到2维山脊线或山谷线的情况，这些结构也可以用1维曲线s(t)为模型，而s(t)的法线方向为n(t)。若某个点为曲线上的特征点，则该点在n(t)方向上的1阶微分为0，而2阶微分达到了极值。

这里定义的高斯偏微分核函数为

式中，gσ(x)及gσ(y)分别为以x和y为自变量且标准差为σ的两个1维高斯核函数。如果将图像I(x,y)与上述两个高斯偏微分核函数进行卷积计算，可以分别有

具体为

将图像I(x,y)构造为Hessian矩阵，具体为

可以通过计算上面矩阵绝对值得到最大特征值λ和其对应特征向量(nx,ny)，当(nx,ny)满足约束条件则该特征向量就给出了其曲面在此点的法线方向。如果使用二次泰勒多项式的插值，就可得到沿着(nx,ny)方向上的1阶微分过零点的位置，具体为

式中，t可表示为

若则该点就为该中心线上的特征点。如果该点沿(nx,ny)方向的2阶微分取到极值，即可进一步确定此点为中心线特征凸点。

对于复杂的裂隙/裂缝图像，在应用上述算法之前，先将图像进行高斯平滑，再进行边界扫描。在获取的梯度图像中，在平滑后的图像中检测那些梯度较高的区域，再进行这些中心线特征点的检测。然后基于水动力学的思想进行中心线特征点连接和裂缝的连接。

3 基于水动力学的中心线跟踪

研究水及其他液体的运动规律及其与边界相互作用的学科称为水动力学。影响水的运动主要是其本身的特性和其运动的边界特性。理想运动可以根据普朗特的边界层理论，在边界层以外的区域中，不考虑粘性力。挟有颗粒和/或掺有气泡的流动称为多相流，也是非牛顿流体流动。最常见的是河道中的含沙水流。而水体四周都受固体边壁约束的流动称为压力流，又称满管流。当水体流过固体边壁时，在某些条件下可引起边壁的振动，而边壁的振动又反过来改变水流的特性。研究水和固体边壁相互作用的理论称为水弹性理论，其分支地下水动力学是研究在孔隙岩石、节理裂隙岩石和岩溶石料中的水的运动规律科学(Yih，1969)。

文章来源：《水动力学研究与进展》 网址: http://www.sdlxyjyjzzz.cn/qikandaodu/2021/0306/545.html

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