例5 (2015·全国卷Ⅱ)如图8所示，滑块a、b的质量均为m，a套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上，a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动.不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g，则( ).

图8

A．a落地前，轻杆对b一直做正功

B．a落地时速度大小为

C．a下落过程中，其加速度大小始终不大于g

D．a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为mg

解析分解速度得vacosθ=vbsinθ，当θ=90°时，vb=0 m/s，而b物体由静止开始运动，即最初也有vb=0 m/s，故b的运动满足零v零运动模型.虽然难以求解b的速度最大值具体在哪里，但是可以通过定性分析知道它存在中途某一位置.因铰链连接得杆是活动杆，支持力沿着杆，b的速度先增后减，沿杆的力做功为W非G，所以轻杆对b先做正功后做负功，A项错误；当a落地时，θ=90°，b的速度为零，由机械能守恒定律，可得a落地时速度大小为项正确；当b滑块速度减小时，轻杆对b做负功，轻杆对a、b都表现为拉力，拉力在竖直方向上有分力与a的重力合成，其加速度大小大于g，C项错误；因b的机械能(即动能)先增后减，a的机械能先减后增，当a的机械能最小时，b的机械能最大，即最大速度位置，轻杆对a、b的作用力由沿杆向外的推力变为沿杆向内的拉力，此时处于力变向临界点，杆的作用力为零，故b对地面的压力大小为mg，D项正确.

点评b速度最大的位置到底在哪呢？为了便于谈及不妨设b速度最大时，刚性杆与水平方向的夹角为θ，若杆长为L，由a、b二者的速度关系和系统机械能守恒，可以列式：

vacosθ=vbsinθ

由式(2.8)和 式(2.9)可得a、b二者的速度分别和夹角θ的关系：

由式(2.10)和式(2.11)可知a块的速度恒增加，b块的速度先增加后减小，其最大极值可由均值不等式或求导法来求得.本文采用求导的方法，对vb表达式(2.11)求导可得：

令导数最终得到当时，vb取得最大值满足：

当时，代入式(2.10)可得故选项B正确，和上述分析结果一致；若θ0=0，代入式(2.13)计算得到当θ=41.8°时vb取得最大值，同样符合本题解析部分中的定性分析结果.

图9

例6 (2017·江苏高考)(多选)如图9所示，三个小球A、B、C的质量均为m，A与B、C间通过铰链用轻杆连接，杆长为L.B、C置于水平地面上，用一轻质弹簧连接，弹簧处于原长.现A由静止释放下降到最低点，两轻杆间夹角α由60°变为120°.A、B、C在同一竖直平面内运动，弹簧在弹性限度内，忽略一切摩擦，重力加速度为g.则此下降过程中( ).

A．A的动能达到最大前，B受到地面的支持力小于3mg/2

B．A的动能最大时，B受到地面的支持力等于3mg/2

C．弹簧的弹性势能最大时，A的加速度方向竖直向下

D．弹簧的弹性势能最大值为

解析使用整体法对系统展开分析，当三个小球皆静止时，地面对B、C球的弹力各为3mg/2，当A球下降时，只要A球未达最大速度，就有竖直向下的加速度，A球就处于失重状态，此时地面对B球的支持力小于3mg/2，A正确；A球的动能最大时，aA=0 m/s2，系统在竖直方向上F合=0，则地面对B球的弹力为3mg/2，B正确；弹簧的弹性势能最大时，对应着弹簧伸长量最大，A球运动到最低点，此时vA=0 m/s，但aA≠0 m/s2，加速度方向竖直向上，绝地反弹，开始往复运动，C错误；两杆间夹角由60°变为120°，A球下落的距离球重力势能的减少量等于弹簧的弹性势能最大值为错误.

点评和例4类似，我们依旧借助MATLAB软件来确定A、C最大速度的具体位置.为了研究方便，先令杆AC与竖直方向的夹角为θ，易得设弹簧弹性系数为k，那么根据速度关系和动能定律可以列式：

vC·sinθ=-vA·cosθ

其中vB=-vC恒成立.由于α=120°时A到达最低点，即θ=60°时A回归速度为零状态.故根据功能关系有：

图10

为了进一步研究A、C速度和时间、位置之间的关系，可以建立坐标系如图10所示.设AC间轻杆的作用力大小为F，则有微分方程组：

其中：

x2+y2=L2

联立上式，最终可以化简得到关于x坐标的微分方程：

初值条件不变.由式(2.16)可得弹簧的弹性系数k必须满足：若设杆长L=10 m，物体的质量m=1 kg，重力加速度g=10 m/s2，把图10所示位置作为初始位置开始计时，使用MATLAB求解，可以得到A和C的速度分别随角度θ、时间t的变化曲线分别如图11(a)、(b)所示，(c)图展示的是A球速度随y坐标的变化和C球速度随x坐标的变化曲线.

文章来源：《水动力学研究与进展》 网址: http://www.sdlxyjyjzzz.cn/qikandaodu/2021/0727/653.html

上一篇：高职应用力学课程云授课模式的探索与应用
下一篇：物理学专业力学课程教学改革的探讨