点评本题部分学生会错用“粗糙斜面上或倾斜传送带上的往返问题”物理模型，以至于选择C选项.可见即使同为含传送带的类上抛问题，其运动规律还是略有不同的，不可一概而论.借助v-t图像仔细对比，做好辨析是关键.

二、“零v零”型

“零v零”型问题，顾名思义即表示在一定的坐标系下，研究对象的速度以零开始，以零结束的问题.这类问题的运动特征有：

①研究对象的运动状态和运动形式常表现出一定的规律性和周期性；

②研究对象的速度在从零变回到零的过程中，一定有最值存在.

“零v零”型问题中驱使研究对象完成速度变化的作用力可以是恒力，也可以是变力，前者范例十分常见，故本文不再赘述；后者在高中阶段是以轻绳、轻杆和轻弹簧这三种物理模型最为典型.值得一提的是，对于变力系统而言，求取速度最值的具体位置难以绕过超越方程的求解，有时甚至根本无法得到确定的解析解，只能获得数值解.

图4

例4 如图4所示，水平光滑长杆上套有一个质量为mA的小物块A，细线跨过O点的轻小光滑定滑轮一端连接A，另一端悬挂质量为mB的小物块B，C为O点正下方杆上一点，滑轮到杆的距离OC=h.开始时A位于P点，PO与水平方向的夹角为30°.现将A、B同时由静止释放，则下列分析正确的是( ).

A．物块B从释放到最低点的过程中，物块A的动能不断增大

B．物块A由P点出发第一次到达C点的过程中，物块B的机械能先增大后减小

C．PO与水平方向的夹角为45°时，物块A、B速度大小关系是

D．物块A在运动过程中最大速度为

图5

解析B物体从静止开始运动.在运动的过程中，如图5所示，有：vA·cosθ=vB，故当θ=90°时，vB=0 m/s；即B的运动模型为零v零.虽然无法求解B的速度最大值具体在哪里，但是可以通过定性分析知道它存在于θ由30°变化至90°中途的某一位置.物体B从最初到达最低点，绳的拉力对A一直做正功，A动能不断增大，在C点速度最大，拉力做功为W非G，机械能也一直增大，A项正确；在此过程中绳的拉力对B一直做负功，拉力做功为W非G，B的机械能减小.B项错误；PO与水平面夹角为45°时，代入得：项错误；A的最大速度出现在C点，θ=90°时，由系统机械能守恒可得：解得项正确.由于惯性，A过C点后做与左边对称的往复运动，B也上下往复运动.

那么B的最大速度到底在什么时候出现呢？根据A、B二者的速度关系和系统机械能守恒可以列式：

vAcosθ=vB

进而可以得到vB的表达式：

虽然得到了vB表达式，但它形式复杂，仅使用高中数学知识难以求得其最值的解析解.故笔者在此选择借助MATLAB软件求取其最值的数值解.

图6

如图6所示，沿水平长杆建立x轴，设物体A在初始位置时，物体B的位移也为0，那么当物体A位于C点时，物体B的位移达到最大值ymax=2h.令绳OP与x轴正方向的夹角为θ，则有：

物体A从C点开始沿x轴正方向运动，当A的位移为x时，物体B的位移减少为设绳子的拉力大小为F，可以得到下微分方程组：

根据y坐标的表达式可以进一步得到：

为了方便分析不妨设A和B的质量相等，那么综上所述，式(2.5)可化成：

设高度h=10 m，重力加速度g=10 m/s2，物体的质量mA=mB=1 kg，把图6所示位置作为初始位置开始计时，使用MATLAB求解，可以得到A和B的速度分别随角度θ、时间t、A的位移x的变化曲线如图7(a)、(b)和(c)所示.

图7

由图7可知，当时间t=1.866 s时，B第一次达到正向最大速度vBmax=6.374 m/s，此时绳OP与x轴正方向的夹角θ=49.4657°，A的位移x=-8.55 m；当时间t=3.263 s时，B第一次达到反向最大速度v'Bmax=-6.374 m/s，此时绳OP与x轴正方向的夹角θ=130.5343°，A的位移x=8.55 m.通过分析图像还可得知B物体的运动周期TB=5.1 s.物体A在t=2.5631 s时第一次得到正向最大速度vAmax=14.1421m/s，此时绳OP与x轴正方向的夹角θ=90°，A的位移x=0 m.A物体的运动周期TA=10.2 s=2TB，符合解析中的理论分析.

点评绳约束物系问题考查了学生灵活使用合成和分解思想处理动力学问题的能力.如表2所示，本题中的两个物体虽是由一根轻绳相连，但各自速度的大小、变化趋势乃至改变周期都不相同.学生需要把握轻绳约束物系相关速度的本质特点，理智分析才能做出正确判断.

表2A、B两物体的速度变化趋势对比初速度末速度ABAB速度变化0000有无往复性A增大B先增后减A减小B先增后减速度最大值可求不可求但可定性分析存在可求不可求但可定性分析存在补充绳、杆连接速度不一定达极值

文章来源：《水动力学研究与进展》 网址: http://www.sdlxyjyjzzz.cn/qikandaodu/2021/0727/653.html

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